Home » Misc » Формула расчета кубатуры

Формула расчета кубатуры


Как рассчитать кубатуру фундамента – формула расчета

Сомневаетесь или не знаете, как рассчитать кубатуру фундамента? В этом вопросе нет ничего сложного. Приступить к необходимым подсчетам можно сразу же после составления проекта, руководствуясь готовыми чертежами, а можно пойти другим путем и произвести более точную калькуляцию требуемых материалов.

Формула для вычислений

Необходимое количество бетона должно соответствовать параметру опалубки. Поэтому чтобы произвести расчет кубатуры бетона для забивки фундамента необходимо знать геометрические размеры формы. Вооружившись рулеткой замеряем уже поставленную форму, и опираемся на нужные параметры:

  • ширину;
  • высоту;
  • длину.

Как показывает многолетняя строительная практика, опираясь в расчетах на уже готовую опалубку можно получить более точные вычисления, нежели руководствуясь сухими цифрами рабочих чертежей. К тому же производя повторные измерения можно выявить ошибки в монтаже формы для фундамента и вовремя их устранить.

В случае простых фигур формула расчета имеет следующий вид:

(Д х Ш) В = V

При выполнении подсчетов величины следует приводить в единую систему расчетов – см, м. В отношении бетона чаще всего используется параметр – м3, реже литры. При переводе единицы измерения между величинами используется пропорция: 1 м3 бетона = 1000 л. При этом плотность состава не оказывает влияния на количественные показатели. Смесь уплотненная, например, вибрацией, по своей кубатуре соответствует литражу, как и изготовленные по обычным технологиям материалы для бетонирования.

В случае строительства фундамента сложной конфигурации объект условно расчленяется на простые фигуры – параллелепипеды или иные простые элементы (круги, цилиндры и т.д.). Производится расчет для каждого элемента по отдельности, полученные значения суммируются.

Расчет плитного фундамента: основные формулы и особенности работ

Базис в виде плиты – наиболее простой для расчета вид фундамента. Чтобы приобрести необходимое количество раствора для возведения, необходимо сделать два шага:

  • измерить длину, ширину и высоту фундаментной подошвы. Размеры должны соответствовать величине используемой опалубки. При предварительном подсчете затрат на приобретение материала и наличии одного котлована под будущее строительство используют его высоту за минусом величины песчаной подушки;
  • умножить площадь конструкции на ее высоту. Полученная величина – это рассчитанный практическая кубатура, которую необходимо заказывать или изготовлять.

Многие задаются вопросом относительно того, следует ли считаться при составлении калькуляции с количеством используемой арматуры. Практикующие строительные организации не принимают во внимание эту величину ввиду ее незначительности в общем количестве материала.

Расчет ленточного фундамента: доступные для начинающих методы

Ленточный базис геометрически представляет собой полый параллелепипед. Высчитать точную кубатуру бетонного раствора под фундаментные работы можно двумя методами.

Метод 1

Его суть заключается в отдельном подсчете соответствующей характеристики наружного и внутреннего профиля. Для этого каждый из элементов конструкции, в том числе и ребра жесткости, принимаются как самостоятельные геометрические фигуры. Показатели определяются по отношению ко всем элементам и впоследствии суммируются.

Метод 2

При этом способе рассматривается производная от умножения суммарной длины внешнего и внутреннего контура на площадь (Ш х В) сечения ленты.

Важно. Ленточный фундамент при полой конструкции чаще всего выполняется П-образной формы. В таком случае к полученным результатам необходимо добавить объем поперечины-основания.

Свайный фундамент и способы его расчета

Фундамент свайного типа представляет собой комплекс опор цилиндрической формы. Чтобы узнать конечное число, эквивалентное количеству требуемого раствора, нужно рассчитать площадь произведения круга, который составляет основу опоры: умножается на радиус в квадрате постоянную ПИ (3,14). Полученное число необходимо перемножить с высотой опоры. Это и есть искомое данное, используемое для дальнейших расчетов. Если опоры одинаковые, то число умножается на количество опор, если же они разные, то происходит расчет каждой, и уже после этого данные суммируются.

Расчет буронабивного фундамента с ростверком

Не только для индивидуального застройщика, но и для бывалых мастеров в строительной сфере остается сложной задачей то, как правильно рассчитать кубатуру бетона для забивки буронабивного фундамента с ростверком. Но эта проблема исчезнет, если на сложную конструкцию посмотреть под другим углом и разбить ее на более простые фигуры: на параллелепипед монолитного или ленточного ростверка и на цилиндры поддерживающих опор. Дальше – дело техники – вычисление производится по уже знакомым формулам и суммируется.

Помощь неопытным застройщикам: онлайн-калькулятор бетона

Для расчета кубатуры фундамента можно использовать интернет-сервисы, предлагаемые производителями бетонных смесей. Инструмент представляет форму с необходимыми для проведения оценки графами. После заполнения таблицы результат предоставляется автоматически в течение нескольких секунд.

К преимуществам метода относится многофакторность. В зависимости от своего алгоритма программа может учитывать не только геометрические параметры, но и факт наличия армирования, класс прочности, цену заказа готовой смеси. При помощи такого калькулятора можно не только решить задачу по заказу нужного количества раствора, но и проверить собственные подсчеты по определению вместительности сложных по конфигурации опалубок.

Сколько нужно материалов: классическая формула состава

Разобравшись с тем, как посчитать кубатуру на фундамент, переходим ко второй части – к подбору состава бетона. Также важно определить пропорции бетона в обычных ведрах для бетономешалки, чтобы максимально упростить процесс дозировки компонентов. Например, для создания обычного раствора для фундаментных работ, потребуется:

  • 25 кг цемента;
  • 75 кг песка (5 ведра). Расчет основан на плотности сухой песчаной смеси – 1600 кг/м3. При засыпании влажного материала следует делать соответствующие поправки;
  • 125 кг гравия (8 ведра). Несмотря на то что камень, на первый взгляд, кажется тяжелее песка, ввиду своей формы, он не занимает все пространство емкости. При расчете бетона по умолчанию принимается во внимание щебень с фракцией среднего размера;
  • 11,5 литров воды.

Расчет в ведрах осуществляется исходя из среднего веса продукта 15 кг/ ведро. Проектная марка бетона – М400, марка портландцемента – М500.

Для того чтобы вручную изготовить однородный по своей консистенции и свойствам состав необходимо пошагово придерживаться следующей мини-инструкции.

Подготовка смеси

Наливают 7 литров воды в миксер и запускают его. Затем постепенно добавляют большую часть щебеня и весь цемент. После закладывают всю приготовленную массу песка и оставшуюся часть щебня. Оставшаяся вода доливается после укладки всех компонентов чтобы получить соответствующий заданной консистенции бетон. Такая нестандартная закладка поможет приготовить качественный раствор без образования комков и необходимой жесткости.

Доводка смеси

После того как смесь достигла готовности, ее необходимо вылить в тачку и транспортировать к месту укладки. Если вы обладаете мобильным бетоносмесителем, то можно упростить процесс подачи бетона до максимума. Для этого нужно установить его возле фундамента, чтобы готовая смесь попадала сразу в подготовленную опалубку.

Во избежание потери раствора при непосредственной заливке фундамента можно установить на опалубку металлический бортик, который будет находиться непосредственно под бетоносмесителем.

При отсутствии специализированного оборудования (миксера) бетон может быть замешан вручную. Но такой способ считается наименее эффективным по причине трудностей в обеспечении необходимого периода перемешивания смеси, в котором происходят процессы создания новых физико-химических связей между всеми элементами состава.

В заключение, правильный расчет бетона для забивки базы будущей постройки даст вполне четкое понятие о том, сколько приобретать рабочего раствора или материала для его изготовления, что значительно сократит издержки строительства.

формула для определения объема бревна

При покупке необработанного леса каждый кубический дециметр для нас очень важен. Особенно если мы точно рассчитали количество необходимого леса для последующего распила либо оцилиндрованных бревен. Поэтому очень важно знать точный объем поставляемого леса-кругляка.

Обмер и учет лесных материалов.

Так как пиломатериалы и поставляемый вес при расчетах учитывают в кубических метрах, то стоимость леса измеряется в денежных единицах за кубический м.

Поэтому нужно знать фактический объем древесины, которую вы заказываете или покупаете.

Этот объем, выраженный в кубических метрах, и будет кубатурой леса.

Произведение расчета кубатуры леса по кубатурнику

Пример расчет кубатуры бревна с помощью он-лаин программы.

Наиболее распространенным методом определения объема круглого бревна является использование кубатурника. Это специальная таблица расчета кубатуры. Кубатурник позволяет по длине бревна с шагом 0,5 метра и диаметру хлыста (более тонкой части бревна) определить объем данного бревна в кубических метрах с точностью до тысячных. Для этого измеряются диаметр вершины бревна и длина бревна и по ним проводят расчет кубатуры в кубатурнике. Если сечение бревна на срезе хлыста недостаточно круглое, тогда измеряется самый большой диаметр и самый малый при перпендикулярных измерениях. Из них вычисляется среднее, округляют его до ближайшего целого, по которому и ищут в кубатурнике объем бревна. Кубатурник регламентирован ГОСТ 2708-75 , ISO 4480-83 ”Лесоматериалы круглые. Таблицы объемов”.

При необходимости вычисления объема древесины в складометрах нужно вычислить объем каждого бревна и их сложить.

Если длина бревна намного больше, чем есть в кубатурнике, то вычисление кубатуры бревна производят путем сложения кубатуры двух его составляющих.

Однако этот метод вычисления довольно неточен и может привести к большой переплате за поставленный лес.

Поэтому приходится искать более точные методы вычисления объема круглого леса.

Вернуться к оглавлению

Расчет кубатуры оцилиндрованного бревна

Расчет кубатуры оцилиндрованного бревна и профилированного бруса.

Если бревна оцилиндрованные, то точный объем этого бревна можно рассчитать по формуле вычисления объема цилиндра:

V = π*D2*L/4, где

  • V – кубатура бревна, м3;
  • D – диаметр бревна, м;
  • L – длина бревна, м;
  • π – постоянная.

Но мы стремимся узнать более точный объем необработанного круглого леса, бревна которого имеют сбежистость.

Сбежистостью называют изменение диаметра круглых бревен лесоматериалов от одного конца к другому. Она измеряется в % и вычисляется делением разницы диаметров на длину, на которой эта разница обнаруживается. Нормальный сбег (сбежистость) равен 1% (1 см на 1 м длины бревна). Сбежистость увеличивает количество отходов при их распиловке и оцилиндрении бревен.

Вернуться к оглавлению

Формула расчета кубатуры леса

Таблица расчета кубатуры бревен.

В стандартном кубатурнике предусматривается некоторая сбежистость, и поэтому все данные в нем вычислены по диаметру хлыстов вершины.

Но сбежистость у разных деревьев бывают разная. Нормальная сбежистость принимается только для хвойных деревьев, и то лишь при укрупненных расчетах. Для насаждений ІІ и ІІІ бонитетов среднее значение сбежистости в промежутке диаметров бревна от 14 до 60 см колеблется от 0,8% до 1,8%.

Поэтому предлагается следующий способ более точного определения фактического объема бревна необработанного леса. Для начала измеряется диаметр бревна на вершине и его длина, а затем измеряется диаметр комля одного из наиболее характерных по сбегу бревен. На следующем этапе вычисляется сбежистость бревен – разница диаметров комля и хлыста делится на длину бревна. Например, если бревно длиной 8 м имеет диаметр на вершине в двух перпендикулярных направлениях 14 и 16 см, а диаметр среза в комлевой части 22 и 24 см, то сбежистость бревна вычисляем по формуле:

С=(D1+D2-d1- d2) / 2L, где

  • d1,d2 – диаметр бревна на верхнем срезе (хлысте) соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
  • D1,D2 – диаметр бревна на нижнем срезе (комле) соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
  • L – длина бревна, м.

В нашем случае С = (22+24-16-14) см²* 8 м=1,0 см/м.

То есть для данной древесины на одном метре длины ствола его диаметр уменьшается от комля до хлыста на 1,0 см (нормальная).

При правильной окружности срезов, когда d1=d2 и D1=D2; С=(D-d) /L

Зная длину бревна и диаметр одного конца (нижнего или верхнего) по формуле вычисления, которая выведена из геометрической формулы объема усеченного конуса, определяем объем любого бревна:

V =π * (D2+D*d + d2) *L/120000, где

  • d =(d1+d2)/2 – диаметр бревна на верхнем срезе (хлысте), вычисленный по его размерам соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
  • D =d+С*L – диаметр бревна на нижнем срезе (комле), вычисленный исходя из диаметра бревна на верхнем срезе (хлысте) и его сбежалости, см;
  • L – длина бревна, м;
  • С – сбежалость, см/м.

В приведенном выше случае V = 3,14* (232+ 23* 15+152)* 8/12000=0,23 м3 , хотя таблица расчета по кубатурнику дает объем 0,199 м3. {n} $ удовлетворяющее уравнению $ \phi ( x) = 0 $ называется алгебраической гиперповерхностью степени $m$. 9{( i)} ) = \delta _ {ij} $ ( $ \дельта _ {ij} $ символ Кронекера). Умножая приближенное равенство $ f ( x) \cong {\mathcal P} ( x) $ на $p(x)$ и интегрирование по $\Omega$ приводит к кубатурной формуле типа (1) с $N = \mu $ а также

$$ \тег{2} C _ {j} знак равно я ( {\ mathcal L} _ {j}), \ \ j = 1 \точки \mu . $$

Существование интегралов (2) равносильно существованию моментов весовой функции, $ p _ {i} = I ( \phi _ {i} ) $, $ i = 1 \точки \mu $. Здесь и далее предполагается, что искомые моменты $ p ( x) $ существует. Кубатурная формула (1), имеющая $ N = \mu $ узлов, не содержащихся ни в одной алгебраической гиперповерхности степени $ m $ и с коэффициентами, определяемыми формулой (2), называется интерполяционной кубатурной формулой. Формула (1) обладает $ m $-свойством, если она является точным равенством, когда $ f ( x) $ является полиномом степени не выше $m$; интерполяционная кубатурная формула обладает $m$-свойством. Кубатурная формула (1) с $ N \leq \mu $ узлов, обладающих свойством $m$, является интерполяционной формулой тогда и только тогда, когда матрица 9{( j)} ) = p _ {i} ,\ \ я = 1 \ точек \ мю . $$

Естественно требовать, чтобы количество неизвестных совпадало с количеством уравнений: $N ( n + 1) = \mu $. Это уравнение дает предварительную оценку количества узлов. Если $ N = \mu /( n + 1) $ не является целым числом, полагается $ N = [ \mu /( n + 1)] + 1 $, где $ [ \mu / ( n + 1)] $ обозначает целую часть $ \mu /( n + 1) $. Кубатурная формула с таким количеством узлов не всегда должна существовать. Если он существует, то количество его узлов равно $ 1/( n + 1) $ умноженное на количество узлов интерполяционной кубатурной формулы. Однако в этом случае сами узлы и коэффициенты определяются нелинейной системой уравнений (3). В методе неопределенных параметров кубатурную формулу строят, пытаясь придать ей вид, упрощающий систему (3). Это можно сделать, когда $ \Omega $ и $ р ( х) $ иметь симметрии. Положения узлов берутся совместимыми с симметрией $\Omega$ и $р(х)$, и в этом случае симметричным узлам присваиваются одинаковые коэффициенты. Упрощение системы (3) сопряжено с определенным риском: хотя исходная система (3) может быть разрешима, упрощенная система не обязательно.

Пример. Пусть $ \Omega = K _ {2} = \{ - 1 \leq x _ {1} , x _ {2} \leq 1 \} $, $ р ( х _ {1} , х _ {2} ) = 1 $. Одного просят построить кубатурную формулу со свойством $7$; $n = 2$, $ \mu = M ( 2, 7) = 36 $, и 12 узлов. Узлы расположены следующим образом. Первая группа узлов состоит из точек пересечения окружности радиуса $a$, с центром в начале координат, с осями координат. Вторая группа состоит из точек пересечения окружности радиуса $b$, также с центром в начале координат с прямыми линиями $ x _ {1} = \pm x _ {2} $. Аналогично строится и третья группа, радиус которой обозначается $c$. Коэффициенты, приписываемые узлам одной группы, одинаковы и обозначаются $A, B, C$ для узлов первой, второй и третьей группы соответственно. {2} $. Это дает нелинейную систему шести уравнений с шестью неизвестными $ a, b, c $, $А,В,С$. Решив эту систему, получим кубатурную формулу с положительными коэффициентами и с узлами, лежащими в $K_{2}$. 9{2} } $.

Теорема 1) Кубатурная формула, инвариантная относительно $ G $ обладает $m$-свойством тогда и только тогда, когда оно точно для всех многочленов степени не выше $m$ которые инвариантны относительно $G$ (см. [5]). Метод неопределенных коэффициентов можно определить как метод построения инвариантных кубатурных формул, обладающих $m$-свойством. В приведенном примере роль группы $G$ может играть группа симметрии квадрата. Теорема 1 имеет существенное значение при построении инвариантных кубатурных формул.

Для простых областей интегрирования, таких как куб, симплекс, шар или сфера, и для веса $ p (x) = 1 $, можно построить кубатурные формулы, многократно используя квадратурные формулы. Например, когда $ \Omega = K _ {n} = \{ {- 1 \leq x _ {i} \leq 1 } : {i = 1 \dots n } \} $ является кубом, можно использовать квадратурную формулу Гаусса с $ k $ узлы $ t _ {i} $ и коэффициенты $A_{i}$ чтобы получить кубатурную формулу

$$ \int\limits _ {K _ {n} } f ( x) dx \ cong \ \ сумма _ {я _ {1} \ точки я _ {п} = 1 } ^ {к} А _ {я _ {1} } \ точки А _ {я _ {п} } е ( т _ {я _ {1} } \ точки т _ {я _ {п} } ) $$ 9\альфа $ такое, что $ 0 \leq \alpha _ {i} \leq 2k - 1 $, $ i = 1 \ точек n $, и, в частности, для всех многочленов степени не выше $2k - 1$. Количество узлов таких кубатурных формул быстро увеличивается, что ограничивает их применимость.

В дальнейшем предполагается, что весовая функция имеет фиксированный знак, скажем

$$ \тег{4} р ( х) \geq 0 \ \ \mathop{\rm in} \Omega \ \ \textrm{ и } \ \ р _ {1} > 0. $$

Тот факт, что коэффициенты кубатурной формулы с такой весовой функцией положительны, является ценным свойством формулы.

Теорема 2) Если область интегрирования $ \Omega $ замкнут и $ p ( x) $ удовлетворяет (4), существует интерполяционная кубатурная формула (1), обладающая $ m $-свойством, $ N \leq \mu $, с положительными коэффициентами и с узлами в $\Omega$. Вопрос о реальном построении такой формулы пока открыт.

Теорема 3) Если кубатурная формула с весом, удовлетворяющим (4), имеет вещественные узлы и коэффициенты и обладает $m$-свойством, то не менее $\lambda = M(n,l)$ ее коэффициентов положительны, где $ l = [ m/2] $ — целая часть $ m/2 $. В условиях теоремы 3 число $ \lambda $ является нижней границей количества узлов: 9{(к)} $ и $C_{j}$ реальны.

Что касается кубатурных формул со свойством $ m $, то особенно интересны те, которые имеют минимальное количество узлов. При $ м = 1, 2 $ такие формулы легко найти для любых $n$, произвольный $\Omega$ и $ p ( x) \geq 0 $; минимальное количество узлов — это как раз нижняя граница $\lambda$: В первом случае он равен 1, а в $n+1$ во-вторых. Когда $ m \geq 3 $, минимальное количество узлов зависит от домена и веса. Например, если $m = 3$, область центрально-симметрична, и если $p(x)=1$, количество узлов $2n$; для симплекса и $p(x)=1$, это $n+2$.

В силу (4),

$$ \тег{5} ( \ фи , \ фунтов на квадратный дюйм ) = \ I ( \phi \overline \psi \; ) $$

— скалярное произведение в пространстве многочленов. Пусть $ {\ mathcal P} _ {k} $ – векторное пространство полиномов степени $k$ которые ортогональны в смысле (5) всем полиномам степени не выше $k - 1$. Это пространство имеет размерность $ M (n — 1, k) $— количество мономов степени $k$. Многочлены от $ {\ mathcal P} _ {k} $ называются ортогональными многочленами для $ \Omega $ и $p(x)$. {n} ) $, где $m > n/2$, и в этом случае искомая кубатурная формула считается точной для всех многочленов степени не выше $m - 1$.

Литература
Крылов, Л.Т. Шульгина, "Справочник по численному интегрированию", Москва (1966) (на русском языке)
[1] Н.М. Крылов, "Приближенное вычисление интегралов", Macmillan (1962) (Перевод с русского)
[2]
[3] А.Х. 4] С.Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, Москва (1974)
[5] С.Л. Соболев, "Формулы механической кубатуры на поверхности сферы" Сиб. Мат. ж. , 3 : 5 (1962) с. 769–796
[6] И.П. Мысовских, "Интерполяционные кубатурные формулы", М., 1981,
Комментарии

Многочлен влияния j-го узла» (т. {(j)}$).

"m-свойство" также известно в западной литературе как степень точности; кубатурная формула обладает $m$-свойством, если она имеет степень точности $m$.

Справочник [a1] является одновременно прекрасным введением и углубленным изучением кубатурных формул.

Литература
[a1] Энгельс Г., "Численные квадратуры и кубатуры", акад. Press (1980)
[a2] П. Дж. Дэвис, П. Рабинович, «Методы численного интегрирования», акад. Пресса (1984)

Как процитировать эту запись:
Кубатурная формула. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cubature_formula&oldid=51796

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи И.П. Мысовских (создатель), который появился в Энциклопедии математики - ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью

Численное интегрирование (квадратура и кубатура)

Определения исчисления >

Численное интегрирование — это способ найти приближенное численное решение определенного интеграла. Вы используете этот метод, когда аналитическое решение невозможно или неосуществимо, или при работе с данными из таблиц (в отличие от функций). Другими словами, вы используете его для вычисления интегралов, которые не могут быть точно проинтегрированы. Цель числовой квадратуры состоит в том, чтобы точно аппроксимировать функцию с минимальным количеством оценок.

Содержимое:


  • Квадратура
  • Кубатура

Для функции одной независимой переменной (например, x ) в квадратуре определенный интеграл заменяется суммированием, что позволяет интегрировать многие «хитрые» задачи интегрирования, в том числе со сложными границами в многомерных пространствах. Этот метод также является строительным блоком для численной обработки дифференциальных уравнений.

Как работает числовая квадратура

Обычно в числовой квадратуре для аппроксимации интеграла используются средневзвешенные значения. Общая идея состоит в том, что вы заменяете определенный интеграл

Со взвешенной суммой конечного числа значений подынтегральной функции

В общем случае a = x 0 и b = x n .

Это приводит к приблизительному ответу. Насколько точен ответ, зависит от того, сколько точек выборки выбрано и как взвешены эти вклады.

Числовые квадратурные правила

Правило трапеций.
Следующие числовые квадратурные правила предназначены для одиночных интервалов:

Правило трапеций усредняет левые и правые значения из сумм Римана.

Правило Симпсона — чрезвычайно точный метод аппроксимации (вероятно, самый точный из вариантов сумм Римана). Вместо прямоугольников или трапеций в этом числовом квадратурном методе используется парабола. Вариантом является Правило 3/8 Симпсона , в котором используется немного другая формула.

Правило средней точки использует среднюю точку левого и правого прямоугольников.

Открытые формулы Ньютона-Котеса полезны, когда значения подынтегральной функции даны для равноотстоящих точек. Однако в целом этот метод менее точен, чем другие методы (например, квадратуры Гаусса). Основные шаги:

  1. Разделить функцию на равные части через интервал [a, b],
  2. Найдите полиномы, которые аппроксимируют функцию (используя метод, называемый интерполяционными полиномами Лагранжа ).

Формулы Ньютона-Котеса могут быть закрытыми (используются все точки) или открытыми (все точки, кроме значений в конечных точках). На следующем изображении показаны замкнутые формулы Ньютона-Котеса. Степень точности — это наибольшее положительное целое число, которое дает точное значение x k , для каждого значения k:



Простое числовое интегрирование с фигурами

Очень простая форма числового интегрирования включает использование квадратной сетки для нахождения площади. Просто наложите квадратную сетку под кривую, затем посчитайте количество квадратов. Если вы используете относительно небольшие квадраты, вы можете получить очень хорошее приближение для многих функций. Если вам нужно только приблизительное приближение и вы не беспокоитесь о получении точного ответа, этот простой метод может подойти.

Существует множество вариаций основного метода. Например, вы можете подсчитывать только полные квадраты или аппроксимировать площади частично заполненных квадратов, возможно, считая каждый частично заполненный квадрат за половину полного квадрата.

Суммы Римана, правила средней точки, Симпсона и правила трапеций

Суммы Римана (включая правило средней точки, правило Симпсона и правила трапеций) аналогичны методу «квадратов», описанному выше, за исключением того, что они используют прямоугольники вместо квадратов.
Суммарная сумма Римана использует прямоугольники для аппроксимации площади.

Из этого конкретного набора процедур правило Симпсона является достаточно точным и даже дает точную площадь для любого многочлена третьей степени или меньше. Более подробное объяснение этих методов, включая пошаговые примеры, см. в основной статье о суммах Римана.

Квадратура Гаусса

Квадратура Гаусса дает точные решения для многочлена степени не выше 2n – 1. Основная идея заключается в том, что вы используете кривую Гаусса в качестве накладывающейся формы вместо прямоугольников или трапеций.
Сравнение методов гауссовского и трапециевидного численного интегрирования. Правило двух точек дает точный результат, потому что площадь светло-серых областей равна площади темно-серых областей.

Квадратура: ссылки

Абрамовиц, М. и Стегун, И. А. (ред.). «Интеграция». §25.4 в Справочнике по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, 9-е издание. Нью-Йорк: Довер, стр. 885-887, 1972.
Корбит, Д. «Численное интегрирование: от трапеций до RMS: объектно-ориентированное числовое интегрирование». Журнал доктора Добба, № 252, 117–120, 19 октября.96.
Хильдебранд, Ф. Б. Введение в численный анализ. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 160-161, 1956.
(2013). Численная квадратура. Получено 22 января 2020 г. с: https://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2013/other/nm_pc/Ch07.pdf

В общем смысле слова « кубатура » процесс нахождения объема твердого тела. В исчислении кубатура определяется как численный метод вычисления нескольких интегралов, в том числе в более высоких измерениях. Например, на трехмерных телах или четырехмерных гиперкубах, где пределы интегрирования — векторы. Это по сравнению с квадратурой, которая представляет собой численное вычисление для одного интеграла [1].
Тройной интеграл для объема куба.
Основная идея аналогична суммам Римана: фигура делится на ряд прямоугольников и находит предел по мере того, как эти прямоугольники становятся тоньше. Для форм в более высоких размерностях (скажем, более 7) используются методы Монте-Карло или аналогичные [2].

Где найти кубатурную формулу

Как вы, наверное, понимаете, количество способов выполнения кубатуры огромно. На самом деле их так много, что им посвящены целые энциклопедии. Большинство академических работ по множественному численному интегрированию относятся к одной из двух книг:

  • А. Х. Страуд. Приближенное вычисление кратных интегралов, Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси (1971). Это издание является достаточно полным. К сожалению, копия обойдется вам примерно в 500 долларов.
  • И.П. Мысовских. Интерполяционные кубатурные формулы // Изд-во. Наука, Москва, Ленинград (1981). Тоже всеобъемлющая книга, но проблема в том, что она написана на русском языке.

Веб-сайт Encyclopaedia of Cubature Formulas , разработанный в Бельгии на кафедре компьютерных наук Katholieke Universiteit Leuven, содержит множество кубатурных таблиц. Например, здесь можно найти формулы для куба (включая n-куб) и сферы (включая n-сферу). К сожалению, это старый сайт, и на нем не очень легко ориентироваться или получить к нему доступ (некоторые части сайта предлагают вам войти в систему без дальнейших инструкций).

Лучшим решением является использование формул, найденных в некоторых статистических программах. Например, этот пакет R предназначен для адаптивной многомерной интеграции по гиперкубам.


Кубатура: ссылки

[1] Кроммер, А. Р. и Уберхубер, К. В. «Построение кубатурных формул». §6.1 в вычислительной интеграции. Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, стр. 155-165, 1998.
[2] Cubature (многомерная интеграция). Получено 8 апреля 2021 г. с: http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/Cubature_(Multi-diversity_integration)

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Числовое интегрирование (квадратура и кубатура)» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/numerical-integration/

-------------------------------------------------- -------------------------

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.

Learn more