Как определить угол наклона в градусах
от чего зависит и как определить
Перед началом строительства необходимо тщательно и в мелочах продумать, как будет выглядеть будущий дом, а также каким функционалом он должен обладать. Одним из самых ответственных этапов являются расчеты кровельного покрытия. От того, какая форма крыши будет выбрана и какое помещение планируется непосредственно под ней, будет зависеть выбор материалов для кровли и определение угла наклона крыши. О том, как правильно рассчитать уклон кровли пойдет речь в этой статье.
Правильный расчет уклона кровли позволит не только определиться с необходимым количеством и типом материала, но и построить здание, соответствующее своему назначению. Оно будет теплым, влагонепроницаемым и крепким.
От каких параметров зависит уклон крыши?
Оптимальный уклон кровли выбирается с учетом многих факторов, основным из которых является воздействие погодных условий на кровельное покрытие. Рассмотрим три параметра, которые необходимо учитывать при выборе угла наклона кровли.
Ветер. Сильные ветра оказывают существенное давление на кровлю и постепенно могут ее разрушать. Для того чтобы снизить частоту ремонтов крыши или вовсе избежать их, необходимо, чтобы угол наклона крыши был небольшим. Чем меньше он будет, тем меньше парусности будет в крыше. Ей будет легче выдерживать порывы ветра. Остроконечные крыши, наоборот, берут на себя всю нагрузку, которую оказывает стихия. Они показали себя не практичными в тех местностях, где преобладают сильные ветра.
Если выбор сделан в пользу плоской крыши, необходимо помнить, что даже в такой кровле есть угол наклона. Он необходим для того, чтобы осадки могли скатываться к краю или к сливным отверстиям. В такой крыше минимальный уклон кровли может быть равен 1 градусу или 1,7%.
Осадки. В местности, где выпадает много осадков, рекомендуется сооружать крышу с углом наклона 45 градусов или выше, если речь идет о нижнем уровне мансардной крыше. Это позволит снегу скатываться с кровли. В противном случае снег накапливается на крыше и оказывает на нее дополнительную нагрузку. Из-за этого она может продавиться или же потерять свои гидроизоляционные свойства, когда снег начнет таять.
Материал кровли. Разные материалы обладают различным весом и свойствами. Например, покрытие из металлочерепицы может гнуться и отрываться, если подвергнуть его давлению ветра с торца. При выборе такого кровельного покрытия необходимо размещать скаты крыш в зависимости от преобладающего направления ветра так, чтобы он дул в покрытие кровли, а не в торец. Данное условие будет влиять и на угол наклона кровли, ведь ширина и длина дома могут быть разными. Кроме того, гладкие кровельные материалы позволяют осадкам беспрепятственно стекать с крыши, а те, которые имеют шершавую фактуру - задерживают их. Поэтому, если угол наклона кровли рассчитывается небольшим, то лучше выбрать более гладкие материалы, которые не будут скапливать на крыше дополнительный вес осадков. Существуют и другие параметры материалов, которые влияют на то, каким будет угол уклона кровли.
Угол уклона кровли в зависимости от материалов
Для кровли из металлочерепицы минимальный угол уклона будет составлять 15 градусов. При меньшем уклоне, влага начнет скапливаться, снижая срок службы крыши. Однако если угол наклона крови составляет 20 - 35 градусов, ей необходима усиленная гидроизоляция. Поскольку при таком уклоне снег может скапливаться на крыше.
Угол склона крыши из профнастила должен быть не менее 12 градусов, для мягкой кровли, гибкой черепицы, - 11 градусов, для материала на битумной основе - не менее 15 градусов. Черепичная или шиферная крыша будет тяжелой, поэтому очень важно правильно рассчитать систему стропил. А угол ее склона должен быть минимум 22 градусов. Эти данные соответствуют установленному ГОСТ образцу.
Как рассчитать угол уклона кровли?
Измерение склона кровли производится в градусах или процентах. Уклон плоской кровли имеет минимальный угол наклона 1 градус или 1,7 процента. Уклон остроконечной крыши может иметь, например, угол наклона 31 градус, тогда в процентном соотношении ее склон будет составлять 60 процентов. Максимальный угол наклона составляет 45 градусов и это равняется 100 процентам. Для того чтобы быстро определить показатели в процентах и градусах используют специальные таблицы. Измерение в градусах представляет собой определение угла, который образуется между плоским основанием и кровельным перекрытием. Уклон кровли в процентах часто используется в строительных чертежах.
Вычисления угла наклона можно произвести несколькими несложными способами. Если представить крышу в форме треугольника, то высота конька и основание крыши - это катеты, а скат кровли - гипотенуза. Необходимо определить угол между гипотенузой и одним из катетов - основанием крыши. Для этого необходимо разделить высоту конька на ширину второго катета. Ею в двухскатной крыше является величина, равная половине ширине дома. Полученное значение умножается на 100 и, таким образом переводится в проценты.
Сделаем для примера расчет угла склона двухскатной крыши при высоте конька 3 метра:
высота конька 3 метра, катет равен 3 метрам.
ширина дома 20 метров, катет равен 20/2 метра.
3/10=0,3
Коэффициент равен 0,3, что соответствует 30%. Угол наклона кровли равен примерно 22 градуса.
Также угол наклона кровли можно рассчитать с помощью электронных калькуляторов для расчета ската крыши, в которые задаются параметры высоты конька и ширины здания. В таком случае можно поучить не только коэффициент угла, но и расчеты стропил. Также можно использовать угломер,
инструмент, который безошибочно определяет нужный угол кровли в градусах или процентах непосредственно на месте строительства.
Чтобы достичь заданного угла наклона кровли можно менять высоту конька крыши или ее форму. В случае, если выбрана мансардная форма крыши, расчет уклона кровли производится обычным способом, но для этого необходимо разбить зоны крыши на треугольники и просчитать угол наклона для каждого в отдельности.
Факторы, которые определяют угол наклона кровли
Для того чтобы вывести идеальный угол наклона крыши, необходимо учесть несколько важных факторов. Среди них такие:
Климатические условия.
Функциональность помещения под крышей.
Используемый материал.
То, какую нагрузку способен выдерживать фундамент и строение в целом.
Экономичность.
Энергоэффективность.
Климат, который преобладает в месте постройки дома, является определяющим фактором, он играет одну основную роль в выборе формы и угла наклона крови. В местности с сильными ветрами рекомендуется устанавливать крыши с небольшим углом наклона. Но, в то же время, на такой крыше в большем объеме собираются осадки. Поэтому на территории с сильными ветрами и большим количеством осадков необходимо конструировать крышу с оптимальным углом наклона. Он будет индивидуальным для каждого конкретного дома.
После определения угла наклона кровли, необходимо решить, какой материал будет самым подходящим. Каждое покрытие имеет разный вес. Тяжелые кровельные материалы требуют запаса прочности фундамента и строения в целом, усиленной стропильной конструкции. Это в свою очередь сделает конструирование крыши более дорогостоящим. С учетом всех этих факторов определяется идеальный угол наклона кровли для каждого конкретного дома.
Однако, если откинуть прагматичную сторону вопроса, то на первый план выходит задумка застройщика и его намерения относительно эксплуатации помещения под крышей.
Если планируется построить дом с жилым мансардным этажом, то, чтобы определить, как правильно рассчитать наклон крыши, необходимо учесть требования к материалу кровли, его тепло- и гидроизоляции. Эти критерии встанут на первое место, а вопрос экономичности и соответствия климату - на второе. Также стоит отметить, что строительство дома с мансардным этажом будет более экономичным, чем строительство двухэтажного дома. Поэтому такое решение является достаточно популярным. Мансардный этаж - это полноценное жилое пространство, которое в определенных случаях является единственной альтернативой для создания нужного жилого пространства. Мансардный этаж не требует возведения стен и, соответственно, дополнительного запаса прочности для фундамента.
Профессиональный подход в конструировании кровли
Необходимый угол наклона кровли может моделироваться за счет изменения высоты конька, а также с учетом всех факторов для создания долговечного и комфортного дома. Чтобы грамотно определить уклон кровли, как того требуют стандарты качества, необходимо учесть все нюансы в расчетах и возведении кровли. Поэтому это дело нужно доверить профессионалам. Однако каждый дом начинается с бумаги. Благодаря необходимым знаниям и нехитрым расчетам, будущий застройщик может строить реалистичные и подходящие для него наброски своего будущего дома.
Видео
Добавить комментарий
Как определить угол наклона уже готовой кровли
Расчет уклона кровли — обязательный этап проектирования дома. От угла наклона скатов зависят снеговая и ветровая нагрузки на крышу, которые через стены передаются на фундамент.
Но есть ситуации, когда необходимо узнать фактический уклон уже готовой кровли. Например, при реконструкции крыши с заменой кровельного материала более тяжелым или при установке солнечных панелей на скатах. Ниже — два способа, как определить угол наклона в этом случае.
Определить уклон ската можно либо с помощью специальных инструментов, либо воспользовавшись базовыми законами геометрии. Первый способ проще и точнее, второй доступен всегда — главное, чтобы была рулетка, а остальные инструменты не важны.
Инструментальный метод
Чтобы определить угол наклона кровли просто и быстро, используйте специальные измерительные инструменты:
- угломеры, которые измеряют угол между двумя «плечами» инструмента;
- уклономеры, которые показывают уклон кровли относительно гравитационного поля Земли.
Угломеры для расчета уклона кровли
Угломер — чрезвычайно простой, но эффективный инструмент. Он бывает механическим и электронным.
Механический угломер состоит из планок, которые соединены друг с другом с одного края, и шкалы между ними. Со второй стороны концы планок свободные и могут вращаться вокруг места соединения. Шкала показывает, на какой угол две части угломера повернуты друг относительно друга. Конструкция настолько простая, что, при необходимости, механический угломер можно даже сконструировать самостоятельно из двух линеек и транспортира.
Электронные угломеры по принципу работы точно такие же. Есть только одно отличие: шкала для определения угла между плечами инструмента заменена специальным датчиком, который считывает положение планок. Результат отображается на небольшом экране.
Механические угломеры — более надежный инструмент: нет риска, что откажет датчик или экран. Но с точки зрения удобства электронные устройства выигрывают. Особенно при измерении под крышей, где часто недостаточно хорошее освещение.
Как определить угол наклона кровли с помощью угломера:
- одну из планок плотно прижмите к стойке, подпирающей коньковую балку, или к самому коньку;
- вторую планку прижмите к нижней кромке стропильной ноги;
- запишите результат измерений и повторите их для разных стропил 8-10 раз;
- отбросьте результаты, которые сильно выбиваются из ряда измерений — слишком большие или слишком маленькие;
- для остальных вычислите среднее арифметическое — это и будет угол наклона кровли.
Учитывайте, что для расчета уклона кровли нужно обязательно делать не одно измерение, а несколько, иначе вы рискуете получить некорректные результаты. Приведем пример.
Допустим, вы сделали 10 измерений угломером и получили следующие результаты.
| Номер измерения | Угол, градусы |
| 1 | 25,3 |
| 2 | 28,1 |
| 3 | 25,8 |
| 4 | 25,4 |
| 5 | 27,5 |
| 6 | 25,1 |
| 7 | 25,3 |
| 8 | 30 |
| 9 | 25,5 |
| 10 | 25,2 |
Второе, пятое и восьмое измерение явно выбиваются из ряда, поэтому их нужно отбросить. Выполняем расчет уклона кровли только по семи измерениям: складываем их и делим на количество. В результате получаем среднее арифметическое — 25,37°. Если бы мы не отфильтровали измерения, то угол бы получился почти на градус больше — 26,32°. И это еще небольшая разница: измерение угла между разными парами стропил и стоек может дать результаты, отличающиеся на 5-7°, иногда даже больше.
Такая разница связана с качеством пиломатериалов, которые обычно используют для стропильной системы. Ее рекомендуют делать из калиброванного леса, то есть из досок, сечение которых примерно одинаковое по всей длине и равно эталонному. Для этого их пропускают через специальный станок — рейсмус, который срезает лишнее и доводит размеры досок до необходимых.
Но калибровка сильно повышает стоимость пиломатериалов, поэтому для большинства стропильных систем с целью экономии берут обычные, некалиброванные доски. Еще и часто недостаточно просушенные. А их ширина даже в сыром виде может отличаться на десятки миллиметров. Причем не у разных досок, а просто по длине одной.
В верхней части стропила выводят в плоскость — нужно же уложить кровельное покрытие, — а в нижней эта разница остается. Она и дает такую погрешность, из-за которой перед тем, как определить угол наклона кровли, нужно сделать множество измерений, чтобы получить более-менее точный результат.
Уклономеры для определения угла наклона ската
Уклономерами пользоваться еще проще, чем угломерами. В основе таких приборов специальные магнитные датчики — инклинометры. Они измеряют угол наклона поверхности, на которой установлены, относительно гравитационного поля Земли. Поэтому это более точный инструмент для расчета уклона кровли.
Чтобы определить угол наклона ската, достаточно просто поставить уклономер на кровельное покрытие или верхнюю кромку стропильной ноги. Независимо от качества пиломатериалов, сверху стропила с обрешеткой выводят в плоскость. Поэтому погрешность будет меньше — для получения точного результата нужно будет повторить измерения 3-4 раза.
Если установить уклономер на кровельное покрытие нет возможности, его можно прижать к низу стропил. Но тогда измерения нужно будет делать по той же схеме, что и с угломером: 8-10 штук с отбрасыванием крайних значений и расчетом среднего.
Расчет уклона кровли по длине стропил
Угломер или уклономер — это специализированный инструмент, который не всегда есть под рукой, да и покупать его ради одного измерения нет смысла. Поэтому для расчета уклона кровли чаще пользуются базовыми законами геометрии.
Дело в том, что стропило, опорная стойка и перекрытие — это, по сути, стороны прямоугольного треугольника, где стропильная нога — гипотенуза. Следовательно, рассчитать уклон кровли можно по формуле:
α = (h/l)·100%
Здесь:
- α — угол наклона ската, %;
- h — высота крыши, включая коньковую балку, м;
- l — расстояние от середины опорной стойки до карнизного свеса ската, м.
Этот метод дает довольно точный результат, поскольку на него никак не влияют характеристики пиломатериалов. Но угол получается не в привычных градусах, а в процентах. Поэтому для дальнейших расчетов полученное значение нужно перевести.
Как вычислить угол наклона в градусах? Сделать это можно двумя способами.
Первый способ подходит тем, у кого есть инженерный калькулятор и кто умеет с ним обращаться. Нужно посчитать арктангенс при делении высоты крыши на длину ската:
α = arctg(h/l)
Второй способ проще — нужно вычислить уклон в процентах с помощью следующей схемы.
Просто приложите линейку к схеме: один конец — к крайней точке справа, другой — к тому значению на вертикальной шкале, которое соответствует полученному вами углу наклона в процентах. Тогда место пересечения линейки со скругленной шкалой (транспортиром) покажет уклон в градусах.
Чтобы узнать уклон кровли, можно воспользоваться одним из двух методов:
- инструментальным — измерить его напрямую с помощью уклономера или угломера;
- расчетным — стропила, перекрытие и стойки образуют прямоугольный треугольник, поэтому угол можно рассчитать, разделив высоту крыши до конька на расстояние по полу от карнизного свеса до опор.
Расчетный метод даст уклон в процентах. Как рассчитать угол наклона в градусах? Взять арктангенс от соотношения или воспользоваться специальной схемой для перевода процентов в градусы.
Будьте в курсе!
Подпишитесь на новостную рассылку
Угол наклона и наклон линии
Пусть прямая l пересекает ось x в точке A. Угол между положительной осью x и линией l, измеренный в направлении против часовой стрелки, называется углом наклона прямая л.
На приведенном выше рисунке, если θ – это угол прямой линии l, то мы имеем следующие важные моменты.
(i) 0° ≤ θ ≤ 180°
(ii) Для горизонтальных линий θ = 0° или 180° и для вертикальных линий θ = 90°
(iii) Если прямая линия изначально лежит вдоль оси х и начинает вращаться вокруг неподвижной точки А на оси х против часовой стрелки и, наконец, совпадает с осью х, то угол наклона прямой линии в начальном положении равно 0°, а линии в конечном положении равно 0°.
(iv) Линии, перпендикулярные оси x, называются вертикальными линиями.
(v) Линии, перпендикулярные оси Y, называются горизонтальными линиями.
(vi) Другие линии, которые не перпендикулярны ни оси x, ни оси y, называются наклонными линиями.
Угол наклона и наклон линии – приложение
Основное применение угла наклона прямой линии – определение уклона.
Если θ – угол наклона прямой линии l, то tanθ называется наклоном градиента линии и обозначается буквой «m».
Следовательно, наклон прямой равен
м = tan θ
для 0° ≤ θ ≤ 180°
Найдем наклон прямой по приведенной выше формуле
(i) Для горизонтальных линий угол наклона равен 0° или 180°.
То есть
θ = 0° или 180°
Следовательно, наклон прямой линии равен
м = tan0° или tan 180° = 0
(ii) Для вертикальных линий угол наклона равен 90°.
То есть
θ = 90°
Следовательно, наклон прямой равен
м = tan90° = Не определено
(iii) Для наклонных линий, если θ имеет острую форму, наклон положительный. Если же θ тупой, то наклон отрицательный.
Наклон линии - положительный или отрицательный, нулевой или неопределенный
Когда мы смотрим на прямую линию визуально, мы можем легко определить знак наклона.
Чтобы узнать знак наклона прямой, всегда нужно смотреть на прямую слева направо.
Это иллюстрируют приведенные ниже рисунки.
Решенные задачи
Задача 1 :
Найдите угол наклона прямой, наклон которой равен 1/√3.
Решение :
Пусть θ - угол наклона линии.
Тогда наклон линии составляет
M = TANθ
Дано: наклон = 1/√3
Затем,
1/√3 = tanθ
θ = 30 °
Итак, угол угла наклон 30°.
Задача 2 :
Если угол наклона прямой равен 45°, найдите ее наклон.
Решение :
Пусть θ - угол наклона линии.
Тогда, наклон линии,
M = TANθ
Дано: θ = 45 °
Затем,
M = TAN 45 °
M = 1
Итак, склон - 1.
Итак, склон - 1.
Задача 3 :
Если угол наклона прямой равен 30°, найдите ее наклон.
Решение :
Пусть θ - угол наклона линии.
Затем, наклон линии,
м = tanθ
Дано: θ = 30°
Тогда
м = tan30°
м = 1/√3
Итак, уклон равен √3
.
Задача 4 :
Найдите угол наклона прямой, наклон которой равен √3.
Решение :
Пусть θ - угол наклона линии.
Затем, наклон линии,
м = tanθ
Дано: Уклон = √3
Тогда,
√3 = tanθ
θ = 60°
Итак, угол наклона равен 60°.
Задача 5 :
Найдите угол наклона прямой, уравнение которой y = x + 32.
Решение :
Пусть θ - угол наклона линии.
Данное уравнение находится в форме пересечения наклона.
То есть
y = mx + b
Сравнивая
y = x + 32
и
y = mx + b,
получаем наклон 1. m = 9.0004
Мы знаем, что наклон линии равен
м = tanθ
Тогда
1 = tanθ
θ = 45°
Итак, угол наклона равен 45°.
Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
4.3 Наклон линии | Аналитическая геометрия
4.
На диаграмме показано, что прямая образует угол \(\theta\) с положительной осью \(x\). Это называется угол наклона прямой.
Мы замечаем, что если градиент изменяется, то значение \(\theta\) также изменяется, поэтому угол наклон линии связан с ее градиентом. Мы знаем, что градиент – это отношение изменения \(y\)-направление на изменение \(x\)-направления:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]Из тригонометрии мы знаем, что функция тангенса определяется как отношение:
\[\tan \theta = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилегающая сторона}}\]
А из схемы мы видим, что
\начать{выровнять*} \tan \theta &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ \поэтому m &= \tan \theta \qquad \text{ for } \text{0}\text{°} \leq \theta < \текст{180}\текст{°} \конец{выравнивание*}
Следовательно, градиент прямой линии равен тангенсу угла, образованного между прямой и положительное направление оси \(x\).
Вертикальные линии
- \(\тета = \текст{90}\текст{°}\)
- Градиент не определен, так как значения \(x\) не изменились (\(\Delta x = 0\)).
- Следовательно, \(\tan \theta\) также не определено (график \(\tan \theta\) имеет асимптоту в \(\theta = \text{90}\text{°}\)).
Горизонтальные линии
- \(\тета = \текст{0}\текст{°}\)
- Градиент равен \(\text{0}\), поскольку значения \(y\) не изменяются (\(\Delta y = 0\)).
- Следовательно, \(\tan \theta\) также равно \(\text{0}\) (график \(\tan \theta\) проходит через происхождение \((\text{0}\text{°};0))\).
Линии с отрицательным уклоном
Если прямая имеет отрицательный наклон (\(m < 0\), \(\tan \theta < 0\)), то угол, образованный между прямой и положительным направлением оси \(х\) тупая.
Из диаграммы CAST в тригонометрии мы знаем, что функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрант. Если мы вычисляем угол наклона для линии с отрицательным градиентом, мы должны добавить \(\text{180}\text{°}\), чтобы изменить отрицательный угол в четвертом квадранте на тупой угол в второй квадрант:
Если нам дана прямая с градиентом \(m = -\text{0,7}\), то мы можем определить угол наклон с помощью калькулятора: 9{-1}(-\текст{0,7}) \\ &= -\текст{35,0}\текст{°} \конец{выравнивание*}
Этот отрицательный угол лежит в четвертом квадранте. Мы должны добавить \(\text{180}\)\(\text{°}\) чтобы получить тупой угол во втором квадранте:
\начать{выровнять*} \тета &= -\текст{35,0}\текст{°} + \текст{180}\текст{°} \\ &= \текст{145}\текст{°} \конец{выравнивание*}
И мы всегда можем использовать наш калькулятор, чтобы проверить, что тупой угол \(\theta = \text{145}\text{°}\) дает градиент \(m = -\text{0,7}\).
Угол наклона
Учебник Упражнение 4.5
\(\text{60}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{60}\text{°} \\ \поэтому m &= \text{1,7} \end{align*}
\(\text{135}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{135}\text{°} \\ \поэтому m &= -\text{1} \end{выравнивание*}
\(\text{0}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{0}\text{°} \\ \поэтому m &= \text{0} \end{align*}
\(\text{54}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \загар \текст{54}\текст{°} \\ \поэтому m &= \text{1,4} \end{выравнивание*}
\(\text{90}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \загар \текст{90}\текст{°} \\ \поэтому m & \text{ не определено} \end{align*}
\(\text{45}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{45}\text{°} \\ \поэтому m &= \text{1} \end{выравнивание*}
\(\text{140}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{140}\text{°} \\ \поэтому m &= -\text{0,8} \end{align*}
\(\text{180}\text{°}\)
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{180}\text{°} \\ \поэтому m &= \text{0} \end{выравнивание*} 9{-1} \влево( \text{0,75} \вправо) \\ \поэтому \тета &= \text{36,8}\text{°} \end{align*}
\(2y - x = 6\)
\begin{align*} 2у - х&=6\ 2у &= х + 6 \\ y &= \frac{1}{2}x + 3 \\ \загар \тета &= м \\ &= \фракция{1}{2} \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \text{0,5} \right) \\ \поэтому \тета &= \текст{26,6}\текст{°} \end{выравнивание*} 9{-1} \влево( \текст{1} \вправо) \\ \поэтому \тета &= \text{45}\text{°} \end{align*}
\(y=4\)
Горизонтальная линия
\(x = 3y + \frac{1}{2}\)
\begin{align*} х &= 3y + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} &= 3y \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} &= y \\ \поэтому m &= \frac{1}{3} \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) \\ \поэтому \тета &= \text{18,4}\text{°} \end{выравнивание*} 9{-1} \влево( \текст{0,577} \вправо) \\ \поэтому \тета &= \text{30}\text{°} \конец{выравнивание*}
Рабочий пример 8: Наклон прямой линии
Определить угол наклона (с точностью до \(\text{1}\) десятичного знака) прямой линии проходящей через точки \((2;1)\) и \((-3;-9)\). {-1}2\\ &= \текст{63,4}\текст{°} \end{выравнивание*}
Важно: убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме DEG (градусы).
Напишите окончательный ответ
Угол наклона прямой равен \(\text{63,4}\)\(\text{°}\).
temp textРабочий пример 9: Наклон прямой линии
Определите уравнение прямой, проходящей через точку \((3;1)\) и с углом наклон \(\text{135}\text{°}\).
Используйте угол наклона для определения градиента линии
\begin{align*} м &= \загар \тета\\ &= \tan \text{135}\text{°} \\ \поэтому m &= -1 \конец{выравнивание*}
Запишите уравнение прямой линии в форме точки градиента. x - x_1)\]
Подставить заданную точку \((3;1)\)
\begin{выравнивание*} у - 1 & = -(х - 3) \\ у&=-х+3+1\ &= -х + 4 \конец{выравнивание*}
Напишите окончательный ответ
Уравнение прямой линии \(y = -x + 4\).
Рабочий пример 10: Наклон прямой линии
Определить острый угол (с точностью до \(\text{1}\) десятичного знака) между прямой, проходящей через точки \(M(-1;1\frac{3}{4})\) и \(N(4;3)\) и прямая \(y = - \frac{3}{2}x + 4\).
Нарисуйте эскиз
Проведите прямую через точки \(M(-1;1\frac{3}{4})\) и \(N(4;3)\) и прямую \(y = - \ дробь{3}{2}x + 4\) в подходящей системе координат. Обозначьте \(\alpha\) и \(\beta\) углы наклона две строки. Обозначьте \(\theta\) острый угол между двумя прямыми.
Обратите внимание, что \(\alpha\) и \(\theta\) — острые углы, а \(\beta\) — тупой угол.
\[\begin{массив}{rll} \hat{B}_1 &= \text{180}\text{°} - \beta & (\angle \text{на строке}) \\ \text{and} \theta &= \alpha + \hat{B}_1 \quad & (\text{ext.} \angle \text{ of } \triangle = \text{ сумма внутр. опп}) \\ \поэтому \тета &= \альфа + (\текст{180}\текст{°} - \бета) \\ &= \text{180}\text{°} + \alpha - \beta \конец{массив}\] 9{-1} \left(-\frac{3}{2}\right) &= -\text{56,3}\text{°} \конец{выравнивание*}
Этот отрицательный угол лежит в четвертом квадранте. Мы знаем, что угол наклона \(\beta\) равен тупой угол лежит во второй четверти, поэтому
\начать{выравнивать*} \beta &= -\text{56,3}\text{°} + \text{180}\text{°}\\ &= \текст{123,7}\текст{°} \конец{выравнивание*}
Определить градиент и угол наклона линии через \(M\) и \(N\)
Определение градиента \начать{выравнивать*} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ & = \dfrac{3 - \frac{7}{4}}{4-(-1)} \\ & = \dfrac{\frac{5}{4}}{5} \\ &= \фракция{1}{4} \end{align*}
Определить угол наклона \начать{выравнивать*} \загар \альфа & = м\\ & = \фракция{1}{4} \\ \поэтому \alpha & = \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} \right) \\ &= \текст{14,0}\текст{°} \end{выравнивание*}
Напишите окончательный ответ
\begin{align*} \тета & = \текст{180}\текст{°} + \альфа - \бета\\ & = \text{180}\text{°} + \text{14,0}\text{°} - \text{123,7}\text{°} \\ & = \текст{70,3}\текст{°} \end{align*}
Острый угол между двумя прямыми равен \(\text{70,3}\)\(\text{°}\). {-1} \left( -\text{2} \right) \\ &= -\текст{63,4}\текст{°} \\ \поэтому \theta &= \text{180}\text{°} - \text{63,4}\text{°} \\ \поэтому \тета &= \text{80}\text{°} \end{выравнивание*} 9{-1} \влево(-\frac{9}{2} \вправо) \\ &= -\текст{77,5}\текст{°} \\ \поэтому \тета &= \text{180}\text{°} - \text{77,5}\text{°} \\ \поэтому \тета &= \текст{102,5}\текст{°} \end{align*}
линия, проходящая через \((-1;-6)\) и \((-\frac{1}{2};-\frac{11}{2})\)
\begin{выравнивание*} m &= \frac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{-\frac{11}{2}+ 6}{-\frac{1}{2}+1} \\ &= \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {1} {2}} {\ гидроразрыва {1} {2}} \\ \поэтому m &= 1 \\ \theta &= \tan^{-1} \left( 1 \right) \\ \поэтому \тета &= \text{45}\text{°} \end{выравнивание*} 9{-1} \влево(-\frac{1}{3} \вправо) \\ \поэтому \тета &= -\текст{18,4}\текст{°} \\ \поэтому \тета &= \text{180}\text{°} - \text{18,4}\text{°} \\ \поэтому \тета &= \текст{161,6}\текст{°} \end{align*}
Градиент undefined
Определить острый угол между линией, проходящей через точки \(A(-2;\frac{1}{5})\) и \(B(0;1)\) и прямой, проходящей через точки \(C(1;0)\) и \(D(-2;6)\). {-1} \left(-2 \right) \\ \поэтому \alpha &= -\text{63,4}\text{°} \\ \поэтому \alpha &= \text{180}\text{°} - \text{63,4}\text{°} \\ \поэтому \alpha &= \text{116,6}\text{°} \\ \text{And } \theta &= \beta + (\text{180}\text{°} - \alpha) \quad (\text{ext. } \angle \треугольник)\\ \поэтому \theta &= \text{21,8}\text{°} + (\text{180}\text{°} - \text{116,6}\text{°} ) \\ &= \текст{85,2}\текст{°} \конец{выравнивание*}
Определить угол между прямой \(y + x = 3\) и прямой \(x = y + \frac{1}{2}\).
Пусть угол наклона линии \(y + x = 3\) равен \(\alpha\), а угол наклона наклон линии \(x = y + \frac{1}{2}\) равен \(\beta\). Пусть угол между двумя строки будут \(\тета\):
\начать{выравнивать*} у &= - х + 3 \\ \поэтому m &= - 1 \\ \alpha &= \tan^{-1} \left(-1\right) \\ \поэтому \alpha &= -\text{45}\text{°} \\ \поэтому \alpha &= \text{180}\text{°} - \text{45}\text{°} \\ \поэтому \alpha &= \text{135}\text{°} \\ х &= у + \ гидроразрыва {1} {2} \\ х - \фракция{1}{2} &= у \\ \поэтому m &= 1 \\ \beta &= \tan^{-1} \left(1 \right) \\ \поэтому \бета &= \text{45}\text{°} \\ \text{And } \theta &= \beta + (\text{180}\text{°} - \alpha) \quad (\text{ext.